群の定義と例 - 数学の世界地図.net（マプマス）

このページでは，代数学における群の定義と例を紹介します．

群の定義

まずは群の定義から確認します．

定義：群

集合 $G$ が1つの二項演算 $*$ をもち，それが次の性質を満たすとき， $G$ は群であるという．

（結合法則）　任意の元 $a,b,c\in G$ に対して，$(a*b)*c=a*(b*c)$ 成り立つ．
（単位元の存在）　ある $e\in G$ という特別な元が存在し，任意の元 $a\in G$ に対して， $a*e=e*a=a$ が成り立つ．
この $e$ のことを，$G$ の単位元という．
（逆元の存在）　前項の$e$をとる．任意の元 $a\in G$ それぞれに応じて，ある $a^{-1}\in G$ が存在して， $a*a^{-1}=a^{-1}*a=e$ が成り立つ．
この $a^{-1}$ を，$a$ の逆元という．

続いて，群の例を見ていきましょう．

例：整数全体のなす群

$G=\mathbb{Z}$ （整数全体の集合）， $*$ を $+$ （整数の加法）とします．すると，$G$ はこの演算で群となります．実際，

例：有理数，実数，複素数全体のなす群

$G=\mathbb{Q}$ （有理数全体の集合）や$G=\mathbb{R}$ （実数全体の集合），$G=\mathbb{C}$ （複素数全体の集合）などとして，$*$ を $+$ （通常の加法）とすると，いずれの場合も， $G$ はこの演算で群となります．理由は整数の場合と全く同じです．

例：0 以外の有理数がなす群

$G=\mathbb{Q}\setminus \{0\} $ （ $0$ 以外の有理数全体の集合）として，$*$ を $\times $ （通常の乗法）とすると， $G$ は群となります．実際，

結合法則 $(a\times b) \times c= a\times (b\times c)$
単位元は， $e=1$ です．すなわち整数 $1$ は，あらゆる $a\in G$ に対して， $a\times 1=1\times a=a$ を満たします．
$a$ の逆元は，$\frac{1}{a}$ です．すなわち，$\frac{1}{a}$ は $a$ に対して，$a\times \frac{1}{a}= \frac{1}{a} \times a =1$ という性質を満たします．

この群 $G$ は，$\mathbb{Q}^\times $ と書かれ，$\mathbb{Q}$ の乗法群（単元群）といいます．

同様に，$\mathbb{R}^\times = \mathbb{R}\setminus \{0\} $ や $\mathbb{C}^\times = \mathbb{C}\setminus \{0\} $ なども通常の乗法で群となります．

例：2つの元からなる群

$G=\{0,1\}$ とし，次の表のように演算 $+$ を定義します．

\[ 0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=0 \]

デルデルくん

要素が2つしかないので，加法は $2\times 2 =4$ 通りあります．それを直接定義してしまっているということですね．

すると，$G$ は群となります．実際，

この群は，「整数を2で割った余り」のなす群だと考えられます．例えば，「2で割って1余る数」と「2で割って1余る数」を足すと「2で割って0余る数」となり，これは「 $1+1=0$ 」に対応します．この群を， $\mathbb{Z}/2 \mathbb{Z} $ とかきます．

このほかの例としては，行列にまつわる群が挙げられます．それに関しては，別のページでまとめています．