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このページでは，行列が要素となるような群を紹介します．
正方行列全体のなす群
実数を成分にもつ $n$ 次正方行列全体のなす集合を，${\rm M}(n,\mathbb{R})$ （他には ${\rm M}_n (\mathbb{R})$ など）とかく．
$n$ 次正方行列全体は群をなす．
この定理は $n=2$ の場合の具体例でもって納得することにしましょう．
$n=2$ としましょう．例えば， $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ は ${\rm M}(2,\mathbb{R})$ に属します．
演算を行列の加法 $+$ として，${\rm M}(2,\mathbb{R})$ は群をなします．
- 大前提として，$+$ は ${\rm M}(2,\mathbb{R})$ で閉じています．すなわち，2次正方行列同士を足した結果も2次正方行列になっています．
- 3つの2次正方行列 $A,B,C$に対して，結合法則 $(A+B)+C=A+(B+C)$ が成り立つことは，線形代数で学習するでしょう．
- 単位元は 零行列 $O=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$ です．どのような行列に零行列を加えても，変わりません．
- 行列 $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix}$ の逆元は，$-A=\begin{pmatrix} -a & -b \\ -c & -d\end{pmatrix}$ です．$A+(-A)=(-A)+A=O$ であることはすぐに分かるでしょう．
同様に，3次行列全体，4次行列全体などもそれぞれ $+$ を演算として群をなします．
正則行列全体のなす群
実数を成分にもつ $n$ 次正則行列全体のなす集合を，${\rm GL}(n,\mathbb{R})$ （他には ${\rm GL}_n (\mathbb{R})$ など）とかく．
正則行列とは，逆行列をもつ正方行列であったことを思い出しておきましょう．なお，${\rm GL}$という記号は，一般線形群 General Linear (Group) という言葉に由来します．
$n$ 次正則行列全体 ${\rm GL}(n,\mathbb{R})$ は群をなす．この群を一般線形群という．
この定理も， $n=2$ の場合の具体例でもって納得することにしましょう．
$n=2$ としましょう．例えば，例えば， $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ は その行列式が $1\times 1 – 2\times 0 =1$であることから正則行列であり，${\rm GL}(2,\mathbb{R})$ に属します．
今回は行列の積$\cdot$を演算として考えましょう．
- 大前提として，$\cdot$ は ${\rm GL}(2,\mathbb{R})$ で閉じています．すなわち，2次正則行列同士を足した結果も2次正則行列になっています．
- 3つの2次正則行列 $A,B,C$に対して，結合法則 $(AB)C=A(BC)$ が成り立つことは，線形代数で学習するでしょう．
- 単位元は 単位行列 $E=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ です．どのような行列に単位行列を加えても，変わりません．
- 行列 $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix}$ の逆元は，逆行列そのもの，$A^{-1} =\displaystyle\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a\end{pmatrix}$ です．$AA^{-1}=A^{-1}A=E$ であることは実際に計算すれば分かります．なお，$A^{-1}$がきちんと 今考えている群 ${\rm GL}(n,\mathbb{R})$ の中にあることも重要です．
同様に，3次行列全体，4次行列全体などもそれぞれ $+$ を演算として群をなします．
行列式が1の行列全体のなす群
実数を成分にもつ $n$ 次正方行列で，行列式が1であるもの全体の集合を，${\rm SL}(n,\mathbb{R})$ （他には ${\rm SL}_n (\mathbb{R})$ など）とかく．
なお，${\rm SL}$という記号は，特殊線形群 Special Linear (Group) という言葉に由来します．
${\rm SL}(n,\mathbb{R})$ は群をなす．この群を特殊線形群という．
この定理も， $n=2$ の場合の具体例でもって納得することにしましょう．
$n=2$ としましょう．例えば，例えば， $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ は その行列式が $1\times 1 – 2\times 0 =1$であることから，${\rm SL}(2,\mathbb{R})$ に属します．
行列の積$\cdot$を演算として考えましょう．
- 大前提として，$\cdot$ は ${\rm SL}(2,\mathbb{R})$ で閉じています．すなわち，行列式が1の行列同士をかけても行列式が1であることは，${\rm det}(A)\cdot {\rm det}(B) ={\rm det}(AB)$を用いることでわかります．
- 3つの2次正則行列 $A,B,C$に対して，結合法則 $(AB)C=A(BC)$ が成り立つことは，正則行列と同様です．
- 単位元も正則行列の場合と同様で，単位行列 $E=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ です．
- 行列 $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix}$ の逆元も，正則行列の場合と同様で，逆行列そのもの，$A^{-1} =\displaystyle\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a\end{pmatrix}$ です．ここで注意すべきなのは，逆行列も${\rm SL}(2,\mathbb{R})$に属する，すなわち行列式が1であることです．
直交行列のなす群
実数を成分にもつ $n$ 次直交行列全体のなす集合を，${\rm O}(n,\mathbb{R})$ （他には ${\rm O}_n (\mathbb{R})$ など）とかく．
直交行列とは，$ AA^{\rm T}=A^{\rm T}A=E$ を満たす行列 $A$ のことでした．なお，${\rm O}$ という記号は，直交 orthogonal からきています．
${\rm O}(n,\mathbb{R})$ は群をなす．この群を直交群という．
この定理も， $n=2$ の場合の具体例でもって納得することにしましょう．
$n=2$ としましょう．例えば，例えば， $\begin{pmatrix} \cos 30^\circ & – \sin 30^\circ \\ \sin 30^\circ & \cos 30^\circ\end{pmatrix}$ は${\rm O}(2,\mathbb{R})$ に属します．
行列の積$\cdot$を演算として考えましょう．
- 大前提として，$\cdot$ は ${\rm O}(2,\mathbb{R})$ で閉じています．実際， $ AA^{\rm T}=A^{\rm T}A=E$ および $ BB^{\rm T}=B^{\rm T}B=E$ を満たす二つの直交行列 $A,B$をとると，
\[AB(AB)^{\rm T}=ABB^{\rm T}A^{\rm T}=AEA^{\rm T}=AA^{\rm T}=E\] となるので，積 $AB$ も直交行列です． - 3つの2次正則行列 $A,B,C$に対して，結合法則 $(AB)C=A(BC)$ が成り立つことは，正則行列と同様です．
- 単位元も正則行列の場合と同様で，単位行列 $E=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ です．これは ${\rm O}(2,\mathbb{R})$ の元です．
- 直交行列 $A$ の逆元も，正則行列の場合と同様で，逆行列そのもの，$A^{-1}$ です．ここで注意すべきなのは，逆行列も${\rm O}(2,\mathbb{R})$に属する，すなわち直交行列であることです．実際，
\[ A^{-1}(A^{-1})^{\rm T}=A^{-1}(A^{\rm T})^{-1}=(A^{\rm T} A)^{-1} = E^{-1}=E\] です．