同値を制する者，受験数学を制する　第3回演習問題解答

解答

１ \begin{eqnarray*}
&&\displaystyle\frac{4x+3}{5}+\frac{2x+1}{3}=4\\
& \Longleftrightarrow & 3(4x+3)+5(2x+1)=60\;\;\;(両辺15倍)\\
& \Longleftrightarrow & 22x+14=60\;\;\;(左辺整理)\\
& \Longleftrightarrow & 22x=46\;\;\;(両辺-14)\\
& \Longleftrightarrow & x=\frac{23}{11}\;\;\;(両辺 \div 22)\\
\end{eqnarray*}

２
(i) $a\neq 0$のとき
この方程式は2次方程式で，
\begin{eqnarray*}&&ax^2+bx+c=0 \\&\Longleftrightarrow& x=\frac{-b+ \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\; {\rm or}\; x=\frac{-b- \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{eqnarray*}
(ii) $a=0$ かつ $b\neq 0$ のとき
この方程式は1次方程式で，
\begin{eqnarray*} && ax^2+bx+c=0 \\
&\Longleftrightarrow& bx+c=0\\
&\Longleftrightarrow& x=-\frac{c}{b}
\end{eqnarray*}
(iii) $a=0$ かつ $b= 0$ かつ $c\neq 0$ のとき　
\begin{eqnarray*} &&ax^2+bx+c=0 \\ &\Longleftrightarrow& c=0\\
&\Longleftrightarrow& \mathbb{F}
\end{eqnarray*}
よって解はない．
(iv) $a=0$ かつ $b= 0$ かつ $c= 0$ のとき　
\begin{eqnarray*} &&ax^2+bx+c=0 \\&\Longleftrightarrow& 0=0\\
&\Longleftrightarrow& \mathbb{T}
\end{eqnarray*}
よって解は全実数である．