京都大学2022年理系第1問・文系第1問［対数・不等式］

問題

解答

\[ \begin{aligned} & 5.4<\log_4 2022<5.5\\ &\iff 5.4< \frac{\log_{10}2022}{\log_{10}4} <5.5\\ &\iff 10.8\log_{10}2 <\log_{10}2022 <11\log_{10}2\\ &\iff 2^{10.8}<2022<2^{11}. \end{aligned} \] よって， \(2^{10.8}<2022\) および \(2022<2^{11}\) を示せばよい．

後者については， \(2^{11}=2048\) より明らかである． 前者を示そう．\[ \begin{aligned} 2^{10.8}<2022 &\iff 2^{0.8}<\frac{2022}{2^{10}}\\ &\iff 2^{0.8}<\frac{1011}{2^9}. \end{aligned} \] ここで， \(\dfrac{1011}{2^9}>\dfrac{1000}{2^9}\) であるから， より強い不等式 \[ 2^{0.8}<\frac{1000}{2^9} \] を示せば\(2^{0.8}<\frac{1011}{2^9}\)は正しくなり，$2^{10.8}<2022$が示される．まず， \[ \begin{aligned} 2^{0.8}<\frac{1000}{2^9} &\iff 0.8\log_{10}2 <3-9\log_{10}2\\ &\iff \log_{10}2<\frac{15}{49}. \end{aligned} \] 一方， \[ \log_{10}2 <0.3011 <0.306 <\frac{15}{49} \] が成り立つので， \(\log_{10}2<\dfrac{15}{49}\) が従う． よって \(2^{10.8}<2022\) が成り立ち， \[ 5.4<\log_4 2022<5.5 \] を得る． 

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