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京都大学2022年理系第3問
$n$ を自然数とする．3 つの整数 $n^2+2, n^4+2, n^6+2$ の最大公約数 $A_n$ を求めよ．
$n^4+2=(n^2+2)(n^2-2)+6$であるから，ユークリッドの互除法の原理を用いて\[
\gcd(n^4+2,\;n^2+2)=\gcd(n^2+2,\;6)
\]である．また，同様に，\[
n^6+2=(n^2+2)(n^4-2n^2+4)-6
\]であるから，ユークリッドの互除法の原理を用いて\[
\gcd(n^6+2,\;n^2+2)=\gcd(n^2+2,\;6)
\]である．これらから，\[
\gcd(n^6+2,\;n^4+2,\;n^2+2)=\gcd(n^2+2,\;6)
\]である．
$n$を $6$ で割った余りによって，$n^2+2$ を $6$ で割った余りと $\gcd(n^2+2,6)$ は以下のようになる．
| $n \pmod{6}$ | $n^2+2 \pmod{6}$ | $\gcd(n^2+2,6)$ |
|---|---|---|
| $0$ | $2$ | $2$ |
| $1$ | $3$ | $3$ |
| $2$ | $0$ | $6$ |
| $3$ | $5$ | $1$ |
| $4$ | $0$ | $6$ |
| $5$ | $3$ | $3$ |
よって，\[
A_n=
\begin{cases}
1 & (n\equiv 3 \pmod{6})\\
2 & (n\equiv 0 \pmod{6})\\
3 & (n\equiv 1,5 \pmod{6})\\
6 & (n\equiv 2,4 \pmod{6}).
\end{cases}
\]
