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この記事では，代数学の考察の対象である．環についてその定義と例を紹介します．
大雑把に言えば，環とは加減乗算ができる集合のことです．
環の定義
集合 $R$ が2つの二項演算 $+$（加法とよぶ） , $*$（乗法とよぶ） をもち，それが次の性質を満たすとき， $R$ は環であるという．
- （加法と乗法の結合法則） 任意の元 $a,b,c\in R$ に対して，$(a+b)+c=a+(b+c)$ および $(a*b)*c=a*(b*c)$ が成り立つ．
- （加法と乗法の単位元の存在） ある $0\in R$ という特別な元が存在し，任意の元 $a\in R$ に対して， $a+0=0+a=a$ が成り立つ．また，ある $1\in R$ という特別な元が存在し，任意の元 $a\in R$ に対して， $a*1=1*a=a$ が成り立つ．
この $0$ のことを $R$ の 加法単位元 ，$1$のことを $R$ の乗法単位元という． - （加法逆元の存在） 前項の$0$をとる．任意の元 $a\in R$ それぞれに応じて，ある $-a\in R$ が存在して， $a+(-a)=(-a)+a=0$ が成り立つ．
この $-a$ を，$a$ の加法逆元という． - （分配法則） 任意の元 $a,b,c\in R$ に対して， $(a+b)*c=a*c+b*c$ ， $a*(b+c)=a*b+a*c$ が成り立つ．
加法逆元を足すということは引くということであるので，環は加減乗法の演算ができるということになります．そして，乗法逆元の存在については仮定していません．乗法の逆元をかけるということは割るということであるので，乗法逆元の存在を課さないということは除法ができるとは限らないことを意味します．ここが環の重要ポイントです．
環の例
$R=\mathbb{Z}$ とします．$+, *$をそれぞれ整数の加法，乗法とします．すると，$\mathbb{Z}$ は環となります．
- 結合法則，分配法則，加法の交換法則については整数の性質として成り立ちます．
- 加法の単位元は，整数の $0$ そのもの，乗法の単位元は，整数の $1$ そのものです．
- $a$の加法逆元は，$-a$ です．例えば， $2+(-2)=(-2)+2=0$ であるので，$2$ の逆元は $-2$ であるし， $-2$ の逆元は $-(-2)=2$ となります．
$R=\mathbb{Q}$ （有理数全体の集合）や $R=\mathbb{R}$ （実数全体の集合）や $R=\mathbb{C}$ （複素数全体の集合）とします．$+, *$をそれぞれ有理数や実数，複素数の加法，乗法とします．いずれの場合も， $R$ はこの演算で群となります．理由は整数の場合と同様です．
可換環と非可換環
$R$ を 環 とする．$R$ がさらに次の加法の交換法則を満たすとき，$R$ を 可換環 という．
- （加法の交換法則） 任意の元 $a,b \in R$ に対して， $a+b=b+a$ が成り立つ．
加法の交換法則が成り立たない環を 非可換環 という．
一部の書籍などでは，可換環のことを単に環と呼ぶことがあります．それぞれの書籍に記載されていることが多いので，きちんと確認してから読むようにしましょう．
$\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}$ は積の交換法則が成り立つので，すべて可換環です．
$R={\rm M}(n,\mathbb{R})$ とします．$+, *$ をそれぞれ正方行列の加法と乗法とします．
- 結合法則，分配法則については行列の性質として成り立ちます．
- 加法単位元は，零行列 $O$ です．
- $A$ の加法逆元は， $-A$ です．
- $A$の乗法単位元は，単位行列 $E_n$ です．
以上から，${\rm M}(n,\mathbb{R})$ は環となります．ここで，正方行列の積は一般に可換でないことが知られています．したがって，${\rm M}(n,\mathbb{R})$ は非可換環となります．
